Question

定義域是一切實數(shù)的函數(shù)y=f（x），其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)λ（λ∈R）使得f（x+λ）+λf（x）=0對任意實數(shù)x都成立，則稱f（x）是一個“λ的相關(guān)函數(shù)”．有下列關(guān)于“λ的相關(guān)函數(shù)”的結(jié)論：①f（x）=0是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“λ的相關(guān)函數(shù)”；②f（x）=x²是一個“λ的相關(guān)函數(shù)”；③“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”至少有一個零點．
其中正確結(jié)論的個數(shù)是（　�。�

• A、1
• B、2
• C、3
• D、0

Answer 1

分析：利用新定義“λ的相關(guān)函數(shù)”，對①②③逐個判斷即可得到答案．

解答：解：①∵f（x）=0是一個“λ的相關(guān)函數(shù)”，則0+λ•0=0，λ可以取遍實數(shù)集，因此f（x）=0不是常數(shù)函數(shù)中唯一一個“λ的相關(guān)函數(shù)”，故①不正確；
②用反證法，假設(shè)f（x）=x²是一個“λ的相關(guān)函數(shù)”，則（x+λ）²+λx²=0，
即（1+λ）x²+2λx+λ²=0對任意實數(shù)x成立，
∴λ+1=2λ=λ²=0，而此式無解，
∴f（x）=x²不是一個“λ的相關(guān)函數(shù)”，故②不正確；
③令x=0得：f（

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2

）+

1

2

f（0）=0，
∴f（

1

2

）=-

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f（0），
若f（0）=0，顯然f（x）=0有實數(shù)根；
若f（0）≠0，f（

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2

）•f（0）=-

1

2

f（0）•f（0）=-

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2

f²（0）＜0，
又因為f（x）的函數(shù)圖象是連續(xù)不斷，
∴f（x）在（0，

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）上必有實數(shù)根．因此任意的“

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2

相關(guān)函數(shù)”必有根，即任意“

1

2

的相關(guān)函數(shù)”至少有一個零點，故③正確．
綜上所述，其中正確結(jié)論的個數(shù)是1個．
故選：A．

點評：本題考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，著重考查反證法與函數(shù)零點存在定理的應(yīng)用，考查推理與轉(zhuǎn)化思想，屬于難題．