Question

19．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），有以下結(jié)論：
①求f（2012）=0；
②函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線x=2對稱；
③若f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增，則f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增；
④若f（x）滿足在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)的條件，且f（2）=1，則在x∈R上有f（x）∈[-1，1]．
其中正確的結(jié)論是①③④．

Answer 1

分析 對四個(gè)選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）∵f（x-4）=-f（x），∴f（x-8）=-f（x-4）=f（x），∴函數(shù)的周期為8，
∴f（2012）=f（8×251+4）=f（4）=-f（0）=0，正確；
②定義在R上的奇函數(shù)f（x）滿足f（x-4）=-f（x），則f（x-4）=f（-x），∴f（x-2）=f（-x-2），∴函數(shù)f（x）關(guān)于直線x=-2對稱，不正確；
③若f（x）在[-2，0]上單調(diào)遞增，函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）在[-2，2]上單調(diào)遞增，正確；
④若f（x）滿足在區(qū)間[0，2]上是增函數(shù)的條件，且f（2）=1，則在x∈[-2，2]上有f（x）∈[-1，1]，∵函數(shù)的周期為8，∴在x∈R上有f（x）∈[-1，1]，正確．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．