Question

設(shè)是滿足不等式的自然數(shù)的個(gè)數(shù)，其中．

（Ⅰ）求的值；

(Ⅱ) 求的解析式；

（Ⅲ）記，令，試比較與的大�。�

Answer 1

（Ⅰ）

(Ⅱ)

（Ⅲ）當(dāng)n=2,4時(shí),;當(dāng)n=3時(shí),;當(dāng)n=1或時(shí);---14分

解析:

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得，

    ∴ 即------------------------------2分

(Ⅱ)原不等式等價(jià)于

……………………………………………..4分

………………………………………………………..6分

∴……8分

（Ⅲ）∵

n=1時(shí)，；n=2時(shí)， 

n=3時(shí)，；n=4時(shí)，

n=5時(shí)，；n=6時(shí)，…………………………………………9分

猜想：時(shí) 下面用數(shù)學(xué)歸納法給出證明

①當(dāng)n=5時(shí)，，已證…………………………………………………….10分

②假設(shè)時(shí)結(jié)論成立即

那么n=k+1時(shí)，

在范圍內(nèi)，恒成立,則，即

由①②可得，猜想正確，即時(shí)，…………………………………..  13分

綜上所述：當(dāng)n=2,4時(shí),;當(dāng)n=3時(shí),;當(dāng)n=1或時(shí);---14分