Question

（16）如圖，在Rt△AOB中，∠OAB=，斜邊AB=4.Rt△AOC可以通過Rt△AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B－AO－C是直二面角.動(dòng)點(diǎn)D在斜邊AB上.

（Ⅰ）求證：平面COD⊥平面AOB；

（Ⅱ）當(dāng)D為AB的中點(diǎn)時(shí)，求異面直線AO與CD所成角的大小；

（Ⅲ）求CD與平面AOB所成角的最大值.

Answer 1

解法一：

（Ⅰ）由題意，CO⊥AO，BO⊥AO，

∴∠BOC是二面角B－AO－C的平面角.

又∵二面角B－AO－C是直二面角，

∴CO⊥BO，又∵AO∩BO=O，

∴CO⊥平面AOB，

又CO平面COD，

∴平面COD⊥平面AOB.

（Ⅱ）作DE⊥OB，垂足為E，連結(jié)CE（如圖），則DE∥AO，

∴∠CDE是異面直線AO與CD所成的角.

在Rt△COE中，CO=BO=2，OE=BO=1，

∴CE=.

又DE=AO=，

∴在Rt△CDE中，tan∠CDE=，

∴異面直線AO與CD所成角的大小為arctan.

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，CO⊥平面AOB，

∴∠CDO是CD與平面AOB所成的角，且tan∠CDO=.

當(dāng)OD最小時(shí)，∠CDO最大，

這時(shí)，OD⊥AB，垂足為D，OD==，tan∠CDO=，

∴CD與平面AOB所成角的最大值為arctan.

解法二：

（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，如圖，

則O（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），D（0,1，），

∴=（0，0，2），=（-2，1，），

∴cos〈，〉＝＝，

∴異面直線AO與CD所成角的大小為arccos.

（Ⅲ）同解法一