Question

（本小題滿分10分）

已知圓O：，圓C：，由兩圓外一點(diǎn)引兩圓切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，滿足|PA|=|PB|.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系；

（Ⅱ）求切線長(zhǎng)|PA|的最小值；

（Ⅲ）是否存在以P為圓心的圓，使它與圓O相內(nèi)切并且與圓C相外切？若存在，求出圓P的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) (2)2(3)不存在符合題設(shè)條件的圓P

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)PO、PC，∵|PA|=|PB|，|OA|=|CB|=1，

∴|PO|²=|PC|²，從而

化簡(jiǎn)得實(shí)數(shù)a、b間滿足的等量關(guān)系為：

.                            ………………3分

（Ⅱ）由，得

∴當(dāng)時(shí)，                  ………………3分

（Ⅱ）∵圓O和圓C的半徑均為1，若存在半徑為R圓P，與圓O相內(nèi)切

并且與圓C相外切，則有

  且 

于是有：  即 

從而得

兩邊平方，整理得   ……………2分

將代入上式得：

故滿足條件的實(shí)數(shù)a、b不存在，∴不存在符合題設(shè)條件的圓P………………2分

考點(diǎn)：本試題考查了直線與圓的位置關(guān)系的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：利用線與圓的相切，根據(jù)切線長(zhǎng)定理建立關(guān)系式，進(jìn)而得到a,b的關(guān)系。對(duì)于條件性探索試題，可以先假設(shè)存在，在假設(shè)的基礎(chǔ)上推理論證，求解得到， 說(shuō)明存在，不存在會(huì)找到一個(gè)矛盾。屬于中檔題。