Question

在面積為9的△ABC中，tanA=-

4

3

，且

CD

=2

DB

．
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以AB，AC所在直線(xiàn)為漸近線(xiàn)且過(guò)點(diǎn)D的雙曲線(xiàn)的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)D分別作AB，AC所在直線(xiàn)的垂線(xiàn)DE，DF（E，F(xiàn)為垂足），求

DE

•

DF

的值．

Answer 1

分析：（1）因?yàn)橐訟B，AC所在直線(xiàn)為漸近線(xiàn)，故坐標(biāo)系必以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠CAB的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)為一坐標(biāo)軸．
建系后由tanA=-

4

3

和二倍角公式可寫(xiě)出直線(xiàn)AB，AC的方程，即已知雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)，可將方程設(shè)為4x²-y²=λ（λ≠0）的形式，再利用雙曲線(xiàn)過(guò)點(diǎn)D求出λ即可．
（2）設(shè)出D點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式求出|DE|，|DF|，再求出DE和DF所成角的余弦值，注意到此角與角A的聯(lián)系，由向量數(shù)量積的定義求解即可．

解答：（1）以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，∠CAB的角平分線(xiàn)所在的直線(xiàn)為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系（如圖），設(shè)∠CAx=α．
∵tanA=

2tanα

1-tan2α

=-

4

3

，
∴tanα=2
所以，直線(xiàn)AC的方程為y=2x，直線(xiàn)AB的方程為y=-2x，
雙曲線(xiàn)的方程可以設(shè)為4x²-y²=λ（λ≠0）．
設(shè)B（x₁，-2x₁），C（x₂，2x₂），由

CD

=2

DB

，
得D(

2x1+x2

3

，

-4x1+2x2

3

)，
所以4(

2x1+x2

3

)2-(

-4x1+2x2

3

)2=λ．
即

32

9

x1x2=λ（*）
由tanA=-

4

3

，得sinA=

4

5

又∵|AB|=

5

|x1|，|AC|

5

|x2|(x1x2＞0)，
∴S_△ABC=

1

2

|AB|•|AC|sinA=

1

2

•5x1x2•

4

5

=9，
即x1x2=

9

2

，代入等式（*），得λ=16．
所以，雙曲線(xiàn)的方程為

x2

4

-

y2

16

=1．
（2）由題設(shè)可知?

DE

，

DF

?=π-A，所以cos?

DE

，

DF

?=cos(π-A)=

3

5

．
設(shè)點(diǎn)D（x₀，y₀），
則

x02

4

-

y02

16

=1，
于是，點(diǎn)D到AB，AC所在的直線(xiàn)的距離是|DE|=

|2x0-y0|

5

，|DF|=

|2x0-y0|

5

．
故

DE

•

DF

=|

DE

|•|

DF

|•cos?

DE

，

DF

?=

|2x0-y0|

5

•

|2x0-y0|

5

•

3

5

=

48

25

點(diǎn)評(píng)：本題考查求雙曲線(xiàn)的方程、雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)等知識(shí)，以及平面向量、三角等，綜合性較強(qiáng)，考查利用所學(xué)知識(shí)綜合處理問(wèn)題的能力．