Question

【題目】已知橢圓的方程為，斜率為的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在直線的左上方．

（1）若以為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓右焦點(diǎn)，求此時(shí)直線的方程；

（2）求證：的內(nèi)切圓的圓心在定直線上．

Answer 1

【答案】（1）．（2）見解析

【解析】

（1）設(shè)直線的方程為．設(shè)，．由直線方程與橢圓方程聯(lián)立消元后應(yīng)用韋達(dá)定理得，由判別式大于0得的一個(gè)范圍，由點(diǎn)在直線的左上方再一個(gè)的范圍，兩者結(jié)合得的取值范圍，以為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，說明，用坐標(biāo)表示并代入可求得，注意的取值范圍，即得直線方程；

（2）由（1）計(jì)算，即得直線是的內(nèi)角平分線，可得結(jié)論．

解：（1）設(shè)直線的方程為．設(shè)，．

由得，則，．

由，解得．

又∵點(diǎn)在直線的左上方，∴．

若以為直徑的圓恰好經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，

則，即，

化簡得，解得，或（舍）．

∴直線的方程為．

（2）∵

，

∴直線平分，即的內(nèi)切圓的圓心在定直線上．