Question

2．已知橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點M（2，1），焦距為2$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓E的方程；
（2）若直線l平行于OM，且與橢圓 E交于A、B兩個不同的點（與M不重合），連接 MA、MB，MA、MB所在直線分別與x軸交于P、Q兩點，設P、Q兩點的橫坐標分別為s，t，探求s+t是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）通過將點M（2，1）代入橢圓方程，利用橢圓E的焦距為2$\sqrt{6}$，計算即得結論；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），通過將直線l方程代入橢圓E的方程，利用韋達定理可得s、t的表達式，計算即得結論．

解答 解：（1）∵橢圓E：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）過點M（2，1），
∴$\frac{4}{{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1$，
又∵橢圓E的焦距為2$\sqrt{6}$，
∴2c=2$\sqrt{6}$，
∴a=2$\sqrt{2}$，b=$\sqrt{2}$，
∴橢圓E的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）結論：s+t為定值4．
理由如下：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線l方程為：y=$\frac{1}{2}$x+m（m≠0），
將直線l方程代入橢圓E的方程，消去y整理可得：
x²+2mx+2m²-4=0，
由韋達定理可得：x₁+x₂=-2m，x₁•x₂=2m²-4，
由題可知MA、MB的斜率一定存在且不為0，設為k₁、k₂，
則直線MA的方程為：y-1=k₁（x-2），
∴s=2-$\frac{1}{{k}_{1}}$，同理可得t=2-$\frac{1}{{k}_{2}}$，
∴s+t=4-$\frac{{k}_{1}+{k}_{2}}{{k}_{1}•{k}_{2}}$，
又∵k₁+k₂=$\frac{{y}_{1}-1}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}-1}{{x}_{2}-2}$
=$\frac{（\frac{1}{2}{x}_{1}+m-1）（{x}_{2}-2）+（\frac{1}{2}{x}_{2}+m-1）（{x}_{1}-2）}{（{x}_{2}-2）（{x}_{1}-2）}$
=$\frac{{x}_{1}{x}_{2}+（m-2）（{x}_{1}+{x}_{2}）-4（m-1）}{{x}_{1}{x}_{2}-2（{x}_{1}+{x}_{2}）+4}$=0，
∴s+t=4為定值．

點評 本題是一道直線與圓錐曲線的綜合題，考查橢圓的方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．