Question

函數f(x)=

x

2x+3

，x∈[-1，2]的值域是

[-1，

2

7

]

．

Answer 1

分析：對x分當-1≤x＜0，x=0，0＜x≤2三種情況討論，結合函數的單調性即可求得其值域．

解答：解：∵f（x）=

x

2x+3

，x∈[-1，2]，
∴當-1≤x＜0，f（x）=

x

2x+3

=

1

2+ 3 x

，令g（x）=

3

x

，則g（x）在[-1，0）上單調遞減，f（x）在[-1，0）上單調遞增，
∴g（x）_max=g（-1）=-3，f（x）_min=-1；
∴當-1≤x＜0，-1≤f（x）＜0；
當x=0時，f（x）=0；
當0＜x≤2，同理可得，g（x）在（0，2]上單調遞減，f（x）在（0，2]上單調遞增，
∴g（x）_min=g（2）=

3

2

，f（x）_max=

2

7

；
∴當0＜x≤2，0＜f（x）≤

2

7

；
綜上所述，-1≤f（x）≤

2

7

．
故答案為：[-1，

2

7

]．

點評：本題考查函數的值域，考查轉化思想分類討論思想，考查函數單調性的應用，屬于中檔題．