Question

16．已知f（x）是二次函數．若f（0）=0，f（x+1）=f（x）+x+1，
（1）求f（x）的解析式．
（2）若函數g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²+（2a-$\frac{1}{2}$）x+2，x∈[-5，5]，求g（x）的最小值．

Answer 1

分析 （1）先設出函數f（x）的表達式，根據系數相等得到方程組，求出a，b的值即可；（2）先求出g（x）的表達式，通過討論對稱軸的位置，從而求出函數的最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是二次函數，f（0）=0，
∴設函數的表達式是f（x）=ax²+bx，
則由f（x+1）=f（x）+x+1，
得：a（x+1）²+b（x+1）=ax²+bx+x+1，
∴ax²+（2a+b）x+a+b=ax²+（b+1）x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=b+1}\\{a+b=1}\end{array}\right.$，解得：a=b=$\frac{1}{2}$，
∴f（x）=$\frac{1}{2}$x²+$\frac{1}{2}$；
（2）由（1）得：
g（x）=f（x）+$\frac{1}{2}$x²+（2a-$\frac{1}{2}$）x+2，
=x²+2ax+2，x∈[-5，5]，
對稱軸x=-a，
當-a≤-5即a≥5時：g（x）在[-5，5]遞增，
∴g（x）_最小值=g（-5）=27-10a；
當-a≥5即a≤-5時：g（x）在[-5，5]遞減，
∴g（x）_最小值=g（5）=27+10a；
當-5＜a＜5時：g（x）_最小值=g（-a）=2-a²．

點評 本題考查了求函數的解析式問題，考查二次函數的性質，是一道基礎題．