Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}滿足a₁=b₁，且對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1-an2

．
（1）證明：數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的最大值．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學歸納法

分析：本題（1）利用數(shù)列的遞推公式，根據(jù)等差數(shù)列定義，證明數(shù)列{

1

an

}是等差數(shù)列；（2）根據(jù)（1）的結論，將a_nb_n轉化為n的函數(shù)，再用基本不等式求函數(shù)最值，得到本題結論．

解答： （1）證明：∵對任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，

an+1

an

=

bn

1-an2

，
∴

an+1

an

=

bn

1-an2

=

1-an

1-an2

=

1

1+an

，
∴

1+an

an

=

1

an+1

，
∴

1

an+1

-

1

an

=1．
∵a₁=b₁，a_n+b_n=1
∴a₁=b₁=

1

2

．
∴

1

a1

=2．
∴數(shù)列{

1

an

}是以2為首項，公差為1的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）知：

1

an

=2+（n-1）=n+1，
an=

1

n+1

，
b_n=1-a_n=

n

n+1

，
∴a_nb_n=

n

(n+1)2

=

1

n+ 1 n +2

≤

1

2+2

=

1

4

．
（當且僅當n=1時取等號）
∴數(shù)列{a_nb_n}的最大值為：

1

4

．

點評：本題考查了數(shù)列的遞推公式的應用、基本不等式、函數(shù)的最值，本題難度不大，屬于基礎題．