Question

16．已知${f_0}（x）=x{e^x}，{f_1}（x）={f'_0}（x），{f_2}（x）={f'_1}（x），…，{f_n}（x）={f'_{n-1}}（x）（n∈{N^+}）$．
（Ⅰ）請寫出f_n（x）的表達式（不需證明）；
（Ⅱ）設(shè)f_n（x）的極小值點為P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）設(shè)${g_n}（x）=-{x^2}-2（n+1）x-8n+8$，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)導數(shù)寫出f₁（x），f₂（x）歸納出f_n（x）；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f_n（x）的表達式，要求極值點，就要借助導函數(shù)，令導函數(shù)為0，解出x_n，驗證是極值后代入解析式即可求出y_n．
（Ⅲ）類比求f_n（x）的極小值的過程求出g_n（x）的極大值，進而求出最值即可．

解答 解：（Ⅰ）f_n（x）=（x+n）e^x（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵f_n′（x）=（x+n+1）e^x，
∴當x＞-（n+1）時，f_n′（x）＞0；當x＜-（n+1）時，f_n′（x）＜0．
∴當x=-（n+1）時，f_n（x）取得極小值f_n[-（n+1）]=-e^-（n+1）
，即y_n=-e^-（n+1）（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ）∵g_n（x）=-[x+（n+1）]²+（n-3）²
∴a=+（n-3）²，
又b=-e^-（n+1），
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調(diào)遞增，
∴當0≤x＜x₀時，h'（x₀）＜0；當x＞x₀時，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）單調(diào)遞增，在[0，x₀）單調(diào)遞減，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．…（14分）

點評 本題主要考查函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列以及合情推理等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．著重考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值．