Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為.

（1）求，的值；

（2）證明函數(shù)存在唯一的極大值點，且.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)，可得（1），（1），結(jié)合已知切線方程即可求得，的值；

（2）利用導(dǎo)數(shù)可得，，再構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可得證．

（1）函數(shù)的定義域為，，

則（1），（1），

故曲線在點，（1）處的切線方程為，

又曲線在點，（1）處的切線方程為，

，；

（2）證明：由（1）知，，則，

令，則，易知在單調(diào)遞減，

又，（1），

故存在，使得，

且當時，，單調(diào)遞增，當，時，，單調(diào)遞減，

由于，（1），（2），

故存在，使得，

且當時，，，單調(diào)遞增，當，時，，，單調(diào)遞減，

故函數(shù)存在唯一的極大值點，且，即，

則，

令，則，

故在上單調(diào)遞增，

由于，故（2），即，

．