Question

如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC＝CA=_,AD=CD=1.

求證：BD⊥AA₁；

若四邊形是菱形，且，求四棱柱的體積.

 

Answer 1

【答案】

詳見解析；

【解析】

試題分析：在底面ABCD中，由各邊的關(guān)系可知再由面面垂直的性質(zhì)定理可得平面，從而證得BD⊥AA₁；由于四棱柱底面各邊及對(duì)角線CA長(zhǎng)度都已知，故其面積容易求得.而易知四棱柱的高即菱形中AC邊上的高，由及可得高，所以可得四棱柱體積V=.

試題解析：（Ⅰ）在四邊形中，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092223513871445833/SYS201309222352374568121848_DA.files/image012.png">，，所以    2分

又平面平面，且平面平面

平面，所以平面                      4分

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092223513871445833/SYS201309222352374568121848_DA.files/image018.png">平面，所以．                       6分

（Ⅱ）過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵平面平面 

∴平面

即為四棱柱的一條高          8分

又∵四邊形是菱形,且，

∴ 四棱柱的高為               9分

又∵ 四棱柱的底面面積  10分

∴ 四棱柱的體積為            12分

考點(diǎn)：1.面面垂直性質(zhì)定理；2.棱柱的體積公式；3.解三角形.