Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，求的取值范圍.

（2）令，是否存在實(shí)數(shù)，對(duì)任意，存在，使得成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 或;(2) .

【解析】試題分析：（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，1）不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（﹣1，1）既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)f′（x）在（﹣1，1）上存在零點(diǎn)，但無重根；（2）由題意，函數(shù)f′（x）+2ax值域是g（x）的值域的子集，分別求出值域，再建立不等式，即可得到結(jié)論．

（1）求導(dǎo)函數(shù)可得，

函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，等價(jià)于導(dǎo)函數(shù)在既能取到大于0的實(shí)數(shù)，又能取到小于0的實(shí)數(shù)，即函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且無重根.

①根據(jù)一個(gè)零點(diǎn)存在定理，有，

即

整理得： ，解得；

②有兩個(gè)零點(diǎn)， 且得.但，∴

綜上或；

（2）由題意，函數(shù)值域是的值域的子集

∵， ，∴；

令

∵，∴

∴且 ∴ ∴