Question

6．對于正切函數(shù)y=tanx，請完成以下問題．
（1）寫出正切函數(shù)的定義域、值域和最小正周期，并判斷正切函數(shù)的奇偶性．
（2）寫出正切函數(shù)的單調區(qū)間，并證明其單調性．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)正切函數(shù)的性質即可得到結論．
（2）根據(jù)正切函數(shù)的單調性進行求解即可．

解答 解：（1）正切函數(shù)的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}、值域為（-∞，+∞），最小正周期為π，
∵y=f（x）=tanx=$\frac{sinx}{cosx}$，
∴f（-x）=tan（-x）=$\frac{sin（-x）}{cos（-x）}$=$\frac{-sinx}{cosx}$=-tanx，
則正切函數(shù)在定義域為為奇函數(shù)．
（2）正切函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），
當k=0時，-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$，
設-$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$，
則tanx₁-tanx₂=$\frac{sin{x}_{1}}{cos{x}_{1}}$-$\frac{sin{x}_{2}}{cos{x}_{2}}$=$\frac{sin{x}_{1}cos{x}_{2}-cos{x}_{1}sin{x}_{2}}{cos{x}_{1}cos{x}_{2}}$=$\frac{sin（{x}_{1}-{x}_{2}）}{cos{x}_{1}cos{x}_{2}}$，
∵-$\frac{π}{2}$＜x₁＜x₂＜$\frac{π}{2}$，
∴cosx₁＞0，cosx₂＞0，
∴-$\frac{π}{2}$＜-x₂＜$\frac{π}{2}$，-π＜x₁-x₂＜0，
則sin（x₁-x₂）＜0，
即tanx₁-tanx₂＜0，
則tanx₁＜tanx₂，
∴函數(shù)y=tanx在-$\frac{π}{2}$＜x＜$\frac{π}{2}$上為增函數(shù)，
即函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（kπ-$\frac{π}{2}$，kπ+$\frac{π}{2}$），k∈Z

點評 本題主要考查正切函數(shù)的圖象和性質，比較基礎．