Question

已知平面上一定點(diǎn)C（4，0）和一定直線為該平面上一動(dòng)點(diǎn)，作，垂足為Q，且.

   （1）問(wèn)點(diǎn)P在什么曲線上？并求出該曲線的方程；

   （2）設(shè)直線與（1）中的曲線交于不同的兩點(diǎn)A、B，是否存在實(shí)數(shù)k，使得以線段AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)D（0，－2）？若存在，求出k的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

（1）P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為

（2）滿足題意的k值存在，且k值為

解析:

（1）設(shè)P的坐標(biāo)為，由得

（2分） ∴（（4分）

化簡(jiǎn)得   ∴P點(diǎn)在雙曲線上，其方程為（6分）

   （2）設(shè)A、B點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，

由  得（7分）

，（8分）

∵AB與雙曲線交于兩點(diǎn)，∴△>0，即

解得（9分）

∵若以AB為直徑的圓過(guò)D（0，－2），則AD⊥BD，∴，

即，（10分）

∴

∴

解得，故滿足題意的k值存在，且k值為.