Question

已知兩點(diǎn)M（-2，0），N（2，0），動(dòng)點(diǎn)P（x，y）在y軸上的射影為H，是2和的等比中項(xiàng)．
（I）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過(guò)直線x+y=1上的點(diǎn)Q，求實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）先用坐標(biāo)表示出向量，進(jìn)而利用是2和的等比中項(xiàng)，可得，從而求出動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過(guò)直線x+y=1上的點(diǎn)Q，且Q在右支上，N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為E（1，-1），則|QE|=|QN|，所以雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（當(dāng)且僅當(dāng)Q，E．M共線時(shí)取“=”），此時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，最大為；同理若Q在左支上，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，最大為，從而可求實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程．
解答：解：（I）M（-2，0），N（2，0），設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），所以H（0，y），
所以
∴，
∵是2和的等比中項(xiàng)
∴
∴x²=2（x²-4+y²）
∴為所求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（II）若以點(diǎn)M、N為焦點(diǎn)的雙曲線C過(guò)直線x+y=1上的點(diǎn)Q，且Q在右支上，N（2，0）關(guān)于直線x+y=1的對(duì)稱點(diǎn)為E（1，-1），則|QE|=|QN|
∴雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)2a=||QM|-|QN||=||QM|-|QE||≤|ME|=（當(dāng)且僅當(dāng)Q，E．M共線時(shí)取“=”），此時(shí)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a，最大為
同理若Q在左支上，雙曲線C的實(shí)軸長(zhǎng)為2a，最大為
∴雙曲線C的實(shí)半軸長(zhǎng)為
∵
∴
∴實(shí)軸最長(zhǎng)的雙曲線C的方程為．
點(diǎn)評(píng)：本題以向量為載體，考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，綜合性較強(qiáng)．