Question

已知函數(shù)f（x）=log

1

2

1-kx

x-1

為奇函數(shù)
（1）求常數(shù)k的值；
（2）設h（x）=

1-kx

x-1

，證明函數(shù)y=h（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；
（3）若函數(shù)g（x）=f（x）-(

1

2

)x+m，且g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）由于f（x）為奇函數(shù)，可得f（-x）=-f（x），即可得出k；
（2）利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和不等式的性質(zhì)通過作差即可得出；
（3）利用（2）函數(shù)f（x）的單調(diào)性、指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵f（x）=log

1

2

1-kx

x-1

為奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x），
即log

1

2

1+kx

-x-1

=-log

1

2

1-kx

x-1

，
∴1-k²x²=1-x²，整理得k²=1．
∴k=-1（k=1使f（x）無意義而舍去）．
（2）∵f（x）=log

1

2

1+x

x-1

=log2

x-1

x+1

設a＞b＞1時，
∴f（a）-f（b）=log₂

a-1

a+1

-log₂

b-1

b+1

=log₂（

a-1

a+1

•

b+1

b-1

）=log₂

ab+a-b-1

ab-a+b-1

∵a＞b＞1時，ab+a-b-1＞ab-a+b-1＞0，
∴

ab+a-b-1

ab-a+b-1

＞1，
從而log₂

ab+a-b-1

ab-a+b-1

＞0
即f（a）-f（b）＞0．
∴f（a）＞f（b）．
f（x）在（1，+∞）遞增
（3）由（2）知，f（x）在（1，+∞）遞增，
∴g（x）=f（x）-(

1

2

)x+m在[3，4]遞增．
∵g（x）在區(qū)間[3，4]上沒有零點，
∴g（3）=log

1

2

1+3

3-1

-(

1

2

)3+m=-

9

8

+m＞0．
或g（4）=log

1

2

1+4

4-1

-(

1

2

)4+m=log

1

2

5

3

-

1

16

+m＜0，
∴m＞

9

8

或m＜

1

16

-log

1

2

5

3

點評：本題考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、不等式的性質(zhì)、分類討論等基礎知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．