Question

設直角△ABC的三邊分別為a，b，c，其中c為斜邊，直線ax+by+c=0與圓cos²θ•x²+cos²θ•y²=1，θ為常數，θ∈（0，

π

2

）交于M、N兩點，則|MN|=（　　）

A．sinθ

B．2sinθ

C．tanθ

D．2tanθ

Answer 1

分析：根據圓的方程求出圓心和半徑，根據點到直線的距離公式求出圓心O到直線ax+by+c=0的距離等于d，由弦長公式
|MN|=2

r2-d2

，運算求得結果．

解答：解：圓cos²θ•x²+cos²θ•y²=1，即 x2+y2=  

1

cos2θ

，表示以原點O為圓心，以|

1

cosθ

|為半徑的圓．
由于θ∈（0，

π

2

），故半徑為 r=

1

cosθ

．
∵直角△ABC的三邊分別為a，b，c，其中c為斜邊，∴c²=a²+b²．
圓心O到直線ax+by+c=0的距離等于d=

c

a2+b2

=1，
故弦長|MN|=2

r2-d2

=2

( 1 cosθ )2-1

=2tanθ．
故選D．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系，點到直線的距離公式，弦長公式的應用，屬于中檔題．