Question

14．如圖，在四邊形ABCD中，∠B=$\frac{π}{3}$，∠BCA=2∠CAD，CD=2$\sqrt{2}$，AD=AC=4，則AB=$\sqrt{21}$．

Answer 1

分析 設(shè)∠CAD=θ，則∠BCA=2θ，根據(jù)余弦定理求出cosθ，再根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式求出sin2θ，再由正弦定理即可求出．

解答 解：設(shè)∠CAD=θ，則∠BCA=2θ
在△ADC中，由余弦定理可得cosθ=$\frac{A{D}^{2}+A{C}^{2}-C{D}^{2}}{2AD•AC}$=$\frac{16+16-8}{2×4×4}$=$\frac{3}{4}$，
∴sinθ=$\sqrt{1-co{s}^{2}θ}$=$\frac{\sqrt{7}}{4}$，
∴sin2θ=2sinθcosθ=2×$\frac{\sqrt{7}}{4}$×$\frac{3}{4}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$，
在△ABC中，由正弦定理可得$\frac{AC}{sinB}$=$\frac{AB}{sin2θ}$，
∴AB=$\frac{4×\frac{3\sqrt{7}}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\sqrt{21}$，
故答案為：$\sqrt{21}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理和余弦定理和同角的三角函數(shù)的關(guān)系和二倍角公式，考查了學(xué)生的運(yùn)算能力，屬于中檔題