Question

設f（x）為二次函數，且f（1）=1，f（x+1）-f（x）=1-4x．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設g（x）=f（x）-x-a，若函數g（x）在實數R上沒有零點，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出f（x）=ax²+bx+c，利用待定系數法求得a、b、c的值即可；
（2）可求得g（x）=-2x²+2x-a，g（x）在實數R上沒有零點，?△=4-8a＜0，從而可求得a的取值范圍．
解答：解：（1）設f（x）=ax²+bx+c（2分）
則f（x+1）-f（x）=2ax+a+b，
∵f（x+1）-f（x）=1-4x
∴2ax+a+b=1-4x對一切x∈R成立．
∴（5分）
∴，
又∵f（1）=1，
∴a+b+c=1，
∴c=0．
∴f（x）=-2x²+3x（8分）
（2）g（x）=f（x）-x-a=-2x²+2x-a，（10分）
函數g（x）在實數R上沒有零點，
故△=4-8a＜0，（13分）
解之得（15分）
點評：本題考查求解函數解析式及一元二次方程的根的分布與系數的關系，著重考查待定系數法，考查二次函數零點，屬于中檔題．