Question

【題目】已知橢圓：的離心率，過橢圓的左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線與圓相交所得弦長(zhǎng)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）是否存在過點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，且，若存在，求直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1） （2）存在；或或.

【解析】

（1）運(yùn)用離心率公式和直線與圓相交的弦長(zhǎng)公式，結(jié)合，，的關(guān)系，解方程可得，，進(jìn)而得到橢圓方程；

（2）討論直線的斜率存在和不存在，當(dāng)斜率存在時(shí)則存在和的兩種情況，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理求出斜率，即可求出直線方程。

（1）由題意可得，

過橢圓的左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程為：，

由直線與圓相交所得弦的長(zhǎng)度為，

可得，

又，

解方程可得，，，

即有橢圓的方程為；

（2）設(shè)

①若直線垂直于軸，與橢圓交于，

取，，滿足

②直線不垂直于軸時(shí)，設(shè)方程為，代入橢圓方程得

，

①，②

對(duì)于，包含兩種情況

i）,即，

∴，即

代入①②得，消去得

，解得,滿足

的方程為或

ii) ，即

∴

代入①②得，消去得

，有，無解

綜上的方程為或或