Question

【題目】△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c．
（1）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；
（2）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵a，b，c成等差數(shù)列，

∴2b=a+c，

利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2sinB=sinA+sinC，

∵sinB=sin[π﹣（A+C）]=sin（A+C），

∴sinA+sinC=2sinB=2sin（A+C）；

（2）解：∵a，b，c成等比數(shù)列，

∴b2=ac，

∴cosB= = ≥ = ，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)等號(hào)成立，

∴cosB的最小值為

【解析】（1）由a，b，c成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，利用正弦定理化簡(jiǎn)，再利用誘導(dǎo)公式變形即可得證；（2）由a，bc成等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的性質(zhì)列出關(guān)系式，再利用余弦定理表示出cosB，將得出的關(guān)系式代入，并利用基本不等式變形即可確定出cosB的最小值．