Question

已知函數(shù)
（1）對任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）對任意的x∈[1，+∞），f（x）的值域是[0，+∞），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由題意， 在x∈[1，+∞）上恒成立
即2x²+x+a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
由于函數(shù)g（x）=2x²+x+a在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=2+1+a≥0
∴a≥-3
（2）由題意有
當(dāng)a≥0時，∵x≥1
∴與函數(shù)的值域是[0，+∞）矛盾；
當(dāng)a＜0時，在x∈[1，+∞）上是一個增函數(shù)
∴f（x）_min=f（1）=2+a+1=0
∴a=-3
分析：（1）對稱軸和閉區(qū)間都是固定的，就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值大于等于0的問題，可求a的取值范圍；
（2）先將函數(shù)化簡，再對a進行討論，從而利于基本不等式研究函數(shù)的最值，進而得解．
點評：求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論