Question

（08年天津卷）（本小題滿分14分）

已知中心在原點的雙曲線C的一個焦點是，一條漸近線的方程是．

（Ⅰ）求雙曲線C的方程；

（Ⅱ）若以為斜率的直線與雙曲線C相交于兩個不同的點M，N，且線段MN的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍．

Answer 1

本小題主要考查雙曲線的標準方程和幾何性質、直線方程、兩條直線垂直、線段的定比分點等基礎知識，考查曲線和方程的關系等解析幾何的基本思想方法，考查推理運算能力．滿分14分．

（Ⅰ）解：設雙曲線的方程為（）．由題設得

，解得，所以雙曲線方程為．

（Ⅱ）解：設直線的方程為（）．點，的坐標滿足方程組

將①式代入②式，得，整理得．

此方程有兩個一等實根，于是，且．整理得．�、�

由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足

，．

從而線段的垂直平分線方程為．

此直線與軸，軸的交點坐標分別為，．由題設可得．整理得，．

將上式代入③式得，整理得，．

解得或．

所以的取值范圍是．