Question

【題目】已知橢圓： 的離心率為，且過點， ， 是橢圓上異于長軸端點的兩點.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知直線： ，且，垂足為， ，垂足為，若，且的面積是面積的5倍，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)3.

【解析】試題分析：

(1)結(jié)合題意得到關(guān)于a,b,c的方程組，求解方程組可得橢圓的方程是；

(2)將三角形的面積公式進行整理變形，然后聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達定理得到面積函數(shù)，換元之后結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)可得面積的最大值是3.

試題解析：

（1）依題意解得

故橢圓的方程為.

（2）設(shè)直線與軸相交于點 ， ，

由于且，

得， （舍去）或，

即直線經(jīng)過點，

設(shè)， ， 的直線方程為： ，

由即，

， ，

，

令，所以，

因為，所以在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，

所以，所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時“”成立），

故的最大值為3.