Question

【題目】如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為2， 為中點(diǎn)，試用空間向量知識(shí)解下列問題：

（1）求證面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）取BC中點(diǎn)O，連AO，在正三棱柱中，證得平面，進(jìn)而取中點(diǎn)為,以O(shè)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得向量的坐標(biāo)，利用向量法，即可證得面.

（2）設(shè)平面的法向量為,求得，又由（1）知面，得為平面的法向量，再利用向量的夾角公式，即可求解

取BC中點(diǎn)O，連AO，∵為正三角形，

∴，∵在正三棱柱中，

平面ABC平面,∴平面，

取中點(diǎn)為,以O(shè)為原點(diǎn)，,,的方向?yàn)?/span> ，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則.∴,

∵,.

∴，,∴面.

（2）設(shè)平面的法向量為,.

，∴，∴， ，令，得為平面的一個(gè)法向量，由（1）知面，

∴為平面的法向量，

，

∴二面角的余弦值為