Question

函數(shù)，數(shù)列，滿足0＜＜1， ，數(shù)列滿足，

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）求證：0＜＜＜1；

（Ⅲ）若且＜，則當(dāng)n≥2時(shí)，求證：＞

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）函數(shù)的遞減區(qū)間（-1,0），遞增區(qū)間（0，+）；（Ⅱ）詳見解析；（Ⅲ）詳見解析．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，首先確定定義域，可通過單調(diào)性的定義，或求導(dǎo)確定單調(diào)區(qū)間，由于，含有對(duì)數(shù)函數(shù)，可通過求導(dǎo)來確定單調(diào)區(qū)間，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，由此令，，解出就能求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：0＜＜＜1，可先證0＜＜1，，再證數(shù)列單調(diào)遞減，可先證0＜＜1，若能求出通項(xiàng)公式，利用通項(xiàng)公式來證，由已知0＜＜1， ，顯然無法求通項(xiàng)公式，可考慮利用數(shù)學(xué)歸納法來證，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性易證，證數(shù)列單調(diào)遞減，可用作差比較法＜0證得，從而的結(jié)論；（Ⅲ）若且＜，則當(dāng)n≥2時(shí)，求證：＞，關(guān)鍵是求的通項(xiàng)公式，由，，所以，可得，只要證明＞，，即證，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404355770318169/SYS201403240436277343776179_DA.files/image016.png">且＜，則，由此可得，所以，即證得．

試題解析：（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的遞減區(qū)間（-1,0），遞增區(qū)間（0，+）

（Ⅱ）先用數(shù)學(xué)歸納法證明0＜＜1，.

①當(dāng)n=1時(shí)，由已知得結(jié)論成立.②假設(shè)時(shí)，0＜＜1成立.則當(dāng)時(shí)由（1）可得函數(shù)在上是增函數(shù)，所以＜＜=1-＜1，所以0＜＜1，即n=k+1時(shí)命題成立，由①②可得0＜＜1，成立.

又＜0，所以＜成立.

所以0＜＜＜1

（Ⅲ）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404355770318169/SYS201403240436277343776179_DA.files/image020.png">，，所以，

所以……①

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404355770318169/SYS201403240436277343776179_DA.files/image040.png">則，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014032404355770318169/SYS201403240436277343776179_DA.files/image016.png">，當(dāng)時(shí)，，

所以……②

由①②兩式可知

考點(diǎn)：函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，函數(shù)單調(diào)性，數(shù)學(xué)歸納法，疊乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，放縮法．