Question

已知數列{a_n}是首項、公比都為q（q＞0且q≠1）的等比數列，b_n=a_nlog₄a_n（n∈N^*）．
（1）當q=5時，求數列{b_n}的前n項和S_n；
（2）當q=

14

15

時，若b_n＜b_n+1，求n最小值．

Answer 1

分析：（1）根據數列{a_n}是首項、公比都為q的等比數列得到數列{a_n}的通項公式，把{a_n}的通項公式代入b_n=a_nlog₄a_n中得到數列{b_n}的通項公式，把q=5代入后列舉出數列{b_n}的各項，提取log₄5后剩下的式子設為T_n①，乘以5得到②，②-①再利用等比數列的前n項和的公式化簡可得T_n的通項公式，即可得到數列{b_n}的前n項和S_n的通項公式；
（2）把q=

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代入到b_n=a_nlog₄a_n中得到數列{b_n}的通項公式，然后根據b_n+1-b_n＞0列出關于n的不等式，求出不等式的解集，即可找出滿足題意的正整數n的值．

解答：解：（1）由題得a_n=qⁿ，∴b_n=a_n•log₄a_n=qⁿ•log₄qⁿ=n•5ⁿ•log₄5
∴S_n=（1×5+2×5²+…+n×5ⁿ）log₄5
設T_n=1×5+2×5²+…+n×5ⁿ①
5T_n=1×5²+2×5³+…（n-1）5ⁿ+n×5ⁿ⁺¹②
②-①：-4T_n=5+5²+5²+…+5ⁿ-n×5ⁿ⁺¹=

5(5n-1)

4

-n×5ⁿ⁺¹
T_n=

5

15

(4n×5n-5n+1)，
S_n=

5

16

(4n×5n-5n+1)log45；
（2）b_n=a_nlog₄a_n=n(

14

15

)nlog4

14

15

，
b_n+1-b_n=[（n+1）(

14

15

)n+1-n(

14

15

)n]log4

14

15

log4

14

15

=[(

14

15

)n(

14

15

-

n

15

)log4

14

15

]＞0，因為log4

14

15

＜0，(

14

15

)n＞0，
所以

14

15

-

n

15

＜0，解得n＞14，
即取n≥15時，b_n＜b_n+1．
所求的最小自然數是15．

點評：此題考查學生掌握等比數列的性質，靈活運用等比數列的通項公式及前n項和的公式化簡求值，會利用錯位相減法求數列的和，是一道中檔題．