Question

【題目】如圖，過拋物線上的一點(diǎn)作拋物線的切線，分別交x軸于點(diǎn)D交y軸于點(diǎn)B，點(diǎn)Q在拋物線上，點(diǎn)E，F分別在線段AQ，BQ上，且滿足，，線段QD與交于點(diǎn)P.

（1）當(dāng)點(diǎn)P在拋物線C上，且時(shí)，求直線的方程；

（2）當(dāng)時(shí)，求的值.

Answer 1

【答案】（1）或.（2）.

【解析】

（1）先求得切線的方程，由此求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，確定是的中點(diǎn).根據(jù)三角形重心坐標(biāo)公式列式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)斜式求得的方程.（2）利用列方程，證得是的重心，由此求得的值.

解：（1）過拋物線上點(diǎn)A的切線斜率為，切線AB的方程為，

則B，D的坐標(biāo)分別為，，故D是線段AB的中點(diǎn).

設(shè)，，，，顯然P是的重心.

由重心坐標(biāo)公式得，所以，

則，故或

因?yàn)?/span>，所以，

所以直線EF的方程為或.

（2）由解（1）知，AB的方程為，，，D是線段AB的中點(diǎn)

令，，，

因?yàn)?/span>QD為的中線，所以

而，

所以，即，所以P是的重心，.