Question

16．設(shè)a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}$dx，則二項(xiàng)式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式中常數(shù)項(xiàng)是-160．

Answer 1

分析 由條件求定積分可得a=2，在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于零，求得r的值，可得展開式中常數(shù)項(xiàng)．

解答 解：a=$\int_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}{\sqrt{2}cos（{x+\frac{π}{4}}）}$dx=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$（cosx-sinx）dx=（sinx+cosx）${|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
則二項(xiàng)式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$=${（2\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}）}^{6}$  的通項(xiàng)公式為T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•2^6-r•x^3-r，
令3-r=0，可得r=3，可得二項(xiàng)式${（a\sqrt{x}-\frac{1}{{\sqrt{x}}}）^6}$展開式中常數(shù)項(xiàng)是-${C}_{6}^{3}$•2³=-160，
故答案為：-160．

點(diǎn)評 本題主要考查求定積分，二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．