Question

有甲、乙兩個工廠，甲廠位于一直線河岸的岸邊A處，乙廠與甲廠在河的兩側(cè)，乙廠位于離河岸40km的B處，乙廠到河岸的垂足D與A相距50km，兩廠要在此岸邊合建一個供水站C，從供水站到甲廠和乙廠的水管費(fèi)用分別為3a元和5a元，問供水站C建在何處才能使水管費(fèi)用最�。�

Answer 1

分析：根據(jù)題設(shè)建立數(shù)學(xué)模型，借助圖象尋找個條件間的聯(lián)系，適當(dāng)設(shè)定變元，構(gòu)造相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系，通過求導(dǎo)，求出最值，可確定C點(diǎn)的位置．

解答：解：據(jù)題意知，只有點(diǎn)C在線段AD上某一適當(dāng)位置，才能使總運(yùn)費(fèi)最省，
設(shè)C點(diǎn)距D點(diǎn)xkm，如圖所示，則BD=40，AC=50-x，
∴BC=

BC2+CD2

=

x2+402

又設(shè)總的水管費(fèi)用為y元，
由題意得y=3a（50-x）+5a

x2+402

（0＜x＜50），
y′=-3a+

5ax

x2+402

令y′=0解得x=30．
在（0，50）上，y只有一個極值點(diǎn)，
根據(jù)實際意義，函數(shù)在x=30（km）處取得最小值，
此時AC=50-x=20（km），
答：供水站C建立在A、D之間距甲廠20km處，可使水管費(fèi)用最�。�

點(diǎn)評：解決實際問題的關(guān)鍵在于建立數(shù)學(xué)模型和目標(biāo)函數(shù)，把“問題情境”譯為數(shù)學(xué)語言，找出問題的主要關(guān)系，并把問題的主要關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)問題，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域?qū)ふ疫m當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q，再返回到實際問題中加以說明．