Question

已知動圓過定點(

p

2

，0)，且與直線l：x=-

p

2

相切，其中p＞0．
（Ⅰ）求動圓圓心C的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)A（x₀，y₀）為軌跡C上一定點，經(jīng)過A作直線AB、AC 分別交拋物線于B、C 兩點，若 AB 和AC 的斜率之積為常數(shù)c．求證：直線 BC 經(jīng)過一定點，并求出該定點的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設(shè)M為動圓圓心，過點M作直線l：x=-

p

2

的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|，由拋物線的定義知，
點M的軌跡是以F(

p

2

，0)為焦點，l：x=-

p

2

為準(zhǔn)線的拋物線，從而求得其軌跡方程． 
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），求出BC的斜率，用點斜式求得BC的方程2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0，再根據(jù)
AB 和AC 的斜率之積為常數(shù)c，得到，y1y2=

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0，可得BC的方程為2p(x-x0+

2p

c

)-(y1+y2)(y+y0)=0，可得直線BC經(jīng)過定點(x0-

2p

c

，-y0)．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M為動圓圓心，設(shè)F(

p

2

，0)，過點M作直線l：x=-

p

2

的垂線，垂足為N，由題意知：|MF|=|MN|由拋物線的定義知，點M的軌跡為拋物線，其中F(

p

2

，0)為焦點，l：x=-

p

2

為準(zhǔn)線，所以軌跡方程為y²=2px（p＞0）．
（Ⅱ）設(shè)B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），則y₁²=2px₁，y₂²=2px₂，
于是（y₁+y₂）（y₁-y₂）=2p（x₁-x₂），∴BC的斜率 kBC=

y1-y2

x1-x2

=

2p

y1+y2

．
所以，直線BC的方程為y-y1=

2p

y1+y2

(x-x1)，即2px-（y₁+y₂）y+y₁y₂=0.kABkAC=

y1-y0

x1-x0

•

y2-y0

x2-x0

=

y1-y0

y 2 1 2p - y 2 0 2p

•

y2-y0

y 2 2 2p - y 2 0 2p

=

4p2

(y1+y0)(y2+y0)

=c，
所以，y1y2=

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0．
所以，直線BC的方程為2px-(y1+y2)y+

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0=0．
即2p(x-x0+

2p

c

)-(y1+y2)(y+y0)=0．  于是，直線BC經(jīng)過定點(x0-

2p

c

，-y0)．

點評：本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線和圓錐曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，用點斜式求直線的方程，求出直線BC的方程為2px-(y1+y2)y+

4p2

c

-y0(y1+y2)-2px0=0，是解題的難點．