Question

閱讀下面材料：

    根據(jù)兩角和與差的正弦公式，有

------①

        ------②

由①+② 得------③

令 有

代入③得 .

 (Ⅰ) 類比上述推理方法，根據(jù)兩角和與差的余弦公式，證明:

;

 (Ⅱ)若的三個(gè)內(nèi)角滿足,試判斷的形狀.

(提示:如果需要，也可以直接利用閱讀材料及(Ⅰ)中的結(jié)論)

 

Answer 1

【答案】

 (Ⅰ)證明見解析    (Ⅱ) 為直角三角形

【解析】本試題主要考查了三角函數(shù)公式的化簡(jiǎn)，和解三角形和類比推理的綜合運(yùn)用。

（1）利用兩角和差的余弦公式，進(jìn)行聯(lián)立方程組，求解結(jié)論。

（2）利用二倍角公式展開，升冪將角，然后得到三邊平方和的關(guān)系式，從而確定三角形的形狀為直角三角形。

解法一：(Ⅰ)證明:因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414534556173495/SYS201208241454115552297227_DA.files/image002.png">，------①

          ，------②…………………1分

①-② 得.------③……………………2分

令有，

代入③得.………………………………5分

(Ⅱ)由二倍角公式,可化為

       ,………………………………8分

       所以.…………………………………9分

設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊分別為，

由正弦定理可得.………………………………11分

根據(jù)勾股定理的逆定理知為直角三角形.…………………………………12分

解法二：(Ⅰ)同解法一

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的結(jié)論和二倍角公式,可化為

，……………………8分

因?yàn)锳,B,C為的內(nèi)角，所以，

所以又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082414534556173495/SYS201208241454115552297227_DA.files/image016.png">，所以,

所以    從而.………………………9分

又,所以，故.   所以為直角三角形.