Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=2ⁿ⁺²-2，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù){a_n}滿足b_n=

Sn

an

，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，易求當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，當(dāng)n=1時，a₁=2，從而可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知b_n=2（1-

1

2n

），從而利用分組求和法即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，
又當(dāng)n=1時，a₁=S₁=2，符合上式，
∴a_n=2ⁿ（n∈N^*）．
（Ⅱ）b_n=

2(2n-1)

2n

=2（1-

1

2n

），
∴T_n=b₁+b₂+…+b_n
=2[（1-

1

2

）+（1-

1

22

）+…+（1-

1

2n

）]
=2[n-（

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

）]
=2[n-

1 2 (1- 1 2n )

1- 1 2

]
=2n+

1

2n-1

-2．

點評：本題考查數(shù)列的求和，著重考查知S_n求a_n型問題的解法，突出考查分組求和法的應(yīng)用，屬于中檔題．