Question

【題目】如圖，直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)．

（1）證明：平面平面；

（2）求三棱錐的高．

Answer 1

【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)1.

【解析】分析：（1）要證明平面平面，利用平面與平面垂直的判定定理，在其中一個(gè)平面內(nèi)找一條直線與另一個(gè)平面垂直。由，是的中點(diǎn)，可得。因?yàn)槿�棱�?/span>為直三棱柱，所以平面，進(jìn)而可得。由已知條件直三棱柱中，，，分別是的中點(diǎn)．可得：，進(jìn)而得∽，所以，所以。因?yàn)?/span>，由直線與平面垂直的判定定理可得平面，再由平面與平面垂直的判定定理可得平面平面。（2）求三棱錐的高，直接作高不容易判斷垂足的位置，故可以用等體積法求高。由（1）可知可用 來(lái)求。由（1）知直線平面ADE，故求，,，進(jìn)而求得。由條件可求得， ，知三角形邊長(zhǎng)要求面積，應(yīng)先求一個(gè)角，故由余弦定理推論可得：，進(jìn)而求，可求, 設(shè)三棱錐的高為，由，得：，解得.

詳解：（1）由已知得：

所以∽

所以，所以

又因?yàn)?/span>，是的中點(diǎn)，所以

所以平面，所以

而，所以平面

又平面，

所以平面平面；

（2）設(shè)三棱錐的高為，因?yàn)?/span>,

所以，

由已知可求得， ，

在中，由余弦定理的推論可得 ，

所以，所以,

由，得：，所以.