Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=2，a₂=6
（1）對于任意的正自然數(shù)n，設(shè)點在直線E上，求直線E的方程；
（2）設(shè)數(shù)列{b_n}，其中a_nb_n=2，問從{b_n}中是否能選出無窮項，按原來的順序排成等比數(shù)列{c_n}，使{c_n}的各項和等于？若能，請說明理由并求出數(shù)列{c_n}的第一項和公比，若不能，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*，所以P_n（4n-2，2n-3），由此能求出曲線E的方程．
（2），假設(shè)存在一個等比數(shù)列{c_n}：設(shè)其首項為，第二項為，則公比為q==，由此可知存在唯一的等比數(shù)列{c_n}，首項為，公比為=．
解答：解：（1）a_n=4n-2，S_n=2n²，n∈N^*（2分）
所以P_n（4n-2，2n-3）
設(shè)P_n（x，y），則，
得x-2y-4=0即為曲線E的方程 （4分）
（2），假設(shè)存在一個等比數(shù)列{c_n}：設(shè)其首項為，（r∈N*）
第二項為，（s∈N*，r＜s），（5分）
則公比為q==，0＜q＜1，（6分）
所以得（7分）
所以==）
因為r、s∈N*，
所以存在唯一的r=2，s=5（9分）
所以存在唯一的等比數(shù)列{c_n}，
首項為，
公比為=（11分）
點評：本題考查不等式和數(shù)列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．