Question

【題目】設(shè)函數(shù)，函數(shù)．

（1）求函數(shù)的值域；

（2）若對于任意的，總存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】試題分析：

（1）根據(jù)和三種情況分別求出的取值范圍，最后可得函數(shù)的值域為。（2）由（1）知，函數(shù)的值域。由函數(shù)上單調(diào)遞增，可得函數(shù)的值域，“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，并由此得到，解得即為所求。

試題解析：

（1）①當(dāng)時， ，則函數(shù)在（0,1）上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以。

②當(dāng)時， ；

③當(dāng)時， ，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以。

綜上可得。

所以函數(shù)的值域為。

（2）由（1）知，函數(shù)的值域

又函數(shù)上單調(diào)遞增，

∴，即，

∴函數(shù)的值域，

由題意得“對于任意的，總存在，使得成立”等價于，

∴，

解得．

∴實數(shù)的取值范圍為.