Question

過(guò)點(diǎn)M（x，0）向圓x²+y²-12y+27=0作兩條切線，則兩切線的最大夾角為（　　）

• A、

  π

  6

• B、

  π

  4

• C、

  π

  3

• D、

  π

  2

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線方程

專題：直線與圓

分析：化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，作出圖形，數(shù)形結(jié)合可知，當(dāng)M點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)時(shí)，兩切線的夾角最大．

解答： 解：由圓x²+y²-12y+27=0，得x²+（y-6）²=9，
設(shè)圓的圓心為C，∴C（0，6），半徑為3，如圖，

∵點(diǎn)M（x，0）是x軸上的點(diǎn)，過(guò)O作圓C的兩條切線OA，OB，
要使兩切線的夾角最大，則∠AMC最大，即sin∠AMC=

CA

MC

最大，
∵CA=3為定值，則只需要MC最小，由圖可知，當(dāng)M與O重合時(shí)，MC=OC最小，最小值為6，
∴sin∠AMC=

CA

OC

=

3

6

=

1

2

，∠AMC=

π

6

．
則兩切線的最大夾角為

π

3

．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線方程，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，關(guān)鍵是明確使兩切線夾角最大時(shí)M點(diǎn)的位置，是中檔題．