Question

下圖表示物體運動的路程隨時間變化的函數(shù)f(t)=4t-2t²的圖象,試根據(jù)圖象,描述,比較曲線f(t)在t₀,t₁,t₂附近的變化情況,并求出t=2時的切線的方程.

Answer 1

解：用曲線f(t)在t₀,t₁,t₂處的切線刻畫曲線f(t)在t₀,t₁,t₂附近的變化情況.

(1)當t=t₀時,曲線f(t)在t₀處的切線l₀平行于x軸.所以在t=t₀附近曲線比較平坦,幾乎沒有升降.

(2)當t=t₁時,曲線f(t)在t₁處的切線l₁的斜率f′(t₁)＜0,所以在t=t₁附近曲線下降,即函數(shù)f(t)在t=t₁附近單調(diào)遞減.

(3)當t=t₂時,曲線f(t)在t₂處的切線l₂的斜率f′(t₂)＜0,所以在t=t₂附近曲線下降,即函數(shù)f(t)在t=t₂附近也單調(diào)遞減.由圖象可以看出,直線l₁的傾斜程度小于直線l₂的傾斜程度,說明曲線f(t)在t₁附近比在t₂附近下降得緩慢.

(4)當t=2時,f(2)=0.

在t=2時的切線的斜率k=f′(2)=?

=

=

= (-2Δt-4)=-4.

所以切線的方程為y=-4(x-2),

即4x+y-8=0.

點評：f(t)對t的導數(shù)即為在該點處的切線的斜率，應明確導數(shù)的幾何意義.