Question

若數(shù)列{a_n}滿足

1

an+1

-

1

an

=d，（n∈N^*，d為常數(shù)），則稱數(shù)列{a_n}為調(diào)和數(shù)列．已知數(shù)列{

1

xn

}為調(diào)和數(shù)列，且x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，則x₁+x₂₀=

 

；x₃x₁₈的最大值等于

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)題意可得x_n+1-x_n=d=常數(shù)，所以數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列．利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得：x₁+x₂₀=20，所以20=x₃+x₁₈再利用基本不等式可得x₃x₁₈≤100．

解答：解：因為數(shù)列{

1

xn

}為調(diào)和數(shù)列，
所以結(jié)合調(diào)和數(shù)列的定義可得：x_n+1-x_n=d=常數(shù)，
所以數(shù)列{x_n}是等差數(shù)列．
因為x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=200，
所以結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)可得：x₁+x₂+x₃+…+x₂₀=10（x₁+x₂₀）=200，
所以x₁+x₂₀=20，
所以20=x₃+x₁₈≥2

x3x18

，即x₃x₁₈≤100．
故答案為20，100．

點評：本題主要考查等差數(shù)列的定義與性質(zhì)，以及利用基本不等式求最值．