Question

設(shè)數(shù)列{}的首項(xiàng)，前項(xiàng)和S滿足關(guān)系式(其中=1，2，3，4，…)．

    (Ⅰ)求證：數(shù)列{}是等比數(shù)列；

    (Ⅱ)設(shè)數(shù)列{}的公比為，作數(shù)列｛｝，使，(=2，3，4，…)，求數(shù)列{}的通項(xiàng)公式；

    (Ⅲ)求和：．

Answer 1

解：(Ⅰ)，當(dāng)時(shí)，由

    得． 

    ∴，

    ∴

    故{}為等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為．

(Ⅲ)∵，

    ，

    ∴是以1為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，故其通項(xiàng)公式為

    ．

(Ⅲ)(解法一)∵，，

    ∴{}，{}是首項(xiàng)分別為和1，公差均為的等差數(shù)列．

①當(dāng)…)時(shí)，

，

=

=   (*)

    =

=．

②當(dāng)…)時(shí)，

    =

    =

    =   (由(*))

    =．

    綜上，   

(解法二)∵

=．

∴當(dāng)為偶數(shù)時(shí)

=

=；

當(dāng)為奇數(shù)時(shí)

    =

    =

=

綜上，