Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求不等式的解集;

(2)函數(shù)若存在使得成立,求實數(shù)的取值范圍;

(3)若函數(shù)討論函數(shù)的零點個數(shù)(直接寫出答案，不要求寫出解題過程).

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)答案見解析.

【解析】【試題分析】（1）先判斷出函數(shù)的是定義在區(qū)間上的減函數(shù)，然后將所求不等式等價轉(zhuǎn)化為即，由此求得解集為.（2）由題意知: 時, 值域有交集. 時, 是減函數(shù)對分成兩類討論得出的值域，由此求得的取值范圍.（3）由，得，令則作出圖像，對分類，結(jié)合圖象討論零點的個數(shù).

【試題解析】

（1），定義域為

,函數(shù)是奇函數(shù).

又在時是減函數(shù),(也可用定義法證明)

故不等式等價于

即,

又

故不等式的解集為.

(2)由題意知: 時, 值域有交集.

時, 是減函數(shù)

當時, 時單調(diào)遞減,

當時, 時單調(diào)遞增, 顯然不符合

綜上: 的取值范圍為

(3)由，得，令則

作出圖像

由圖可知，①當時，由得出，

當時, ,對應(yīng)有3個零點；

當時, ,對應(yīng)有1個零點；

②當時，只有一個，對應(yīng)有1個零點；

③當時，只有一個，對應(yīng)只有一個零點；

④當時， ，此時 ， ，

由

得在時， ，三個分別對應(yīng)一個零點，共3個，

在時， ，三個分別對應(yīng)1個，1個，3個零點，共5個.

綜上所述，當或或時，函數(shù)只有1個零點；

當或時，函數(shù)有3個零點；

當時，函數(shù)有5個零點.