Question

過點（0，6）且與圓c₁：x²+y²+10x+10y=0切于原點的圓c₂，設圓c₁的圓心為點o₁，圓c₂的圓心為o₂
（1）把圓c₁：x²+y²+10x+10y=0化為圓的標準方程；
（2）求圓c₂的標準方程；
（3）點o₂到圓c₁上的最大的距離．

Answer 1

解：（1）方程x²+y²+10x+10y=0可化為（x+5）²+（y+5）²=50
（2）設圓c₂的標準方程為（x-a）²+（y-b）²=r²
∵圓c₁與圓c₂相切于點o∴點o₁、o、o₂三點共線
∴點o₁、o、o₂三點共線的斜率，所在直線方程為y=x
∴設點o₂的坐標為（a，a），即a=b
∴點（0，6）、點（0，0）在圓c₂上
∴（0-a）²+（6-a）²=r²
（0-a）²+（0-a）²=r²
∴
∴圓c₂：（x-3）²+（y-3）²=18
（3）設點P（x₀，y₀）是點o₂到圓c₁上最大的距離的點，
則點P在點o、o₂所在直線y=x上
解得（舍去）
∴點P（-10，-10）∴
分析：（1）利用配方法，對圓c₁的方程整理求得其標準方程．
（2）設出圓c₂的標準方程，利用圓c₁與圓c₂相切于點o判斷出o₁、o、o₂三點共線利用斜率相等求得其直線方程，設出o₂的坐標點（0，6）、點（0，0）代入方程求得a，b和半徑r，則圓的方程可得．
（3）設點P（x₀，y₀）是點o₂到圓c₁上最大的距離的點把直線y=x與圓的方程聯(lián)立，求得p點的坐標，最后利用兩點間的距離公式求得|p0₂|．
點評：本題主要考查了圓的標準方程，圓與圓的位置關系，以及直線與圓的位置關系．第3問也可采用數(shù)形結(jié)合的方法，較直觀的解決問題．