Question

已知點是橢圓的右焦點，點、分別是軸、
軸上的動點，且滿足．若點滿足．
(Ⅰ)求點的軌跡的方程；
(Ⅱ)設(shè)過點任作一直線與點的軌跡交于、兩點，直線、與直線分別交
于點、（為坐標原點），試判斷是否為定值？若是，求出這個定值；若不是，
請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) (Ⅱ)的值是定值，且定值為

試題分析：(Ⅰ)橢圓右焦點的坐標為，   
．，
由，得．                        
設(shè)點的坐標為，由，有，
代入，得．                   
（Ⅱ）解法一：設(shè)直線的方程為，、，
則，．                         
由，得， 同理得．    
，，則．
由，得，．            
則．                   
因此，的值是定值，且定值為．                     
解法二：①當時， 、，則，  ．
由 得點的坐標為，則．
由 得點的坐標為，則．
．                    
②當不垂直軸時，設(shè)直線的方程為，、，同解
法一，得．                           
由，得，．       
則．                   
因此，的值是定值，且定值為．                   
點評：解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握求軌跡方程的方法（消參法），以及設(shè)點利用點表示
有關(guān)的向量的表達式即可，此題對計算能力要求較高．