Question

【題目】如圖所示，直三棱柱中， ， ， ，點(diǎn)， 分別是的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證： 平面；

（Ⅱ）若二面角的大小為，求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)證明見(jiàn)解析；(Ⅱ) .

【解析】試題分析：

(Ⅰ)連接， ,由中位線(xiàn)的性質(zhì)可得： ，利用線(xiàn)面平行的判斷定理即可證得平面.

(Ⅱ)結(jié)合直三棱柱的性質(zhì)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則， ， ，據(jù)此可得平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，則，求解方程可得，利用線(xiàn)面角的向量求法可得.

試題解析：

（Ⅰ）連接， ,則且為的中點(diǎn)，

又 為的中點(diǎn)， ，

又平面， 平面，故平面.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>是直三棱柱，所以平面，得.因?yàn)?/span>， ，

，故.以為原點(diǎn)，分別以， ， 所在直線(xiàn)為軸， 軸， 軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)，則， ， ，

， ， .

取平面的一個(gè)法向量為，

由得：令，得，

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

二面角的大小為， ，

解得，得，又，

設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，則 .