Question

4．已知數列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，則$\frac{a_n}{n}$的最小值為$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 數列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，利用a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁可得a_n，再利用不等式的性質、數列的單調性即可得出．

解答 解：∵數列{a_n}滿足a_n+1-a_n=2n（n∈N^*），a₁=3，
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁
=2（n-1）+2（n-2）+…+2×1+3
=2×$\frac{（n-1）n}{2}$+3
=n²-n+3．
則$\frac{a_n}{n}$=$\frac{{n}^{2}-n+3}{n}$=n+$\frac{3}{n}$-1≥$2×\sqrt{n×\frac{3}{n}}$-1=2$\sqrt{3}$-1，等號不成立，當且僅當n=2時，$\frac{{a}_{n}}{n}$的最小值為$\frac{5}{2}$．
故答案為：$\frac{5}{2}$．

點評 本題考查了等差數列的通項公式及其前n項和公式、基本不等式的性質、“累加求和”方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．