Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=x﹣ +alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）已知g（x）= x2+（m﹣1）x+ ，m≤﹣ ，h（x）=f（x）+g（x），當(dāng)時a=1，h（x）有兩個極值點x1 ， x2 ， 且x1＜x2 ， 求h（x1）﹣h（x2）的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=x﹣ +alnx，

∴f′（x）=1+ + ，

∵f（x）在[1，+∞）上單調(diào)遞增，

∴f′（x）=1+ + ≥0在[1，+∞）上恒成立，

∴a≥﹣（x+ ）在[1，+∞）上恒成立，

∵y=﹣x﹣ 在[1，+∞）上單調(diào)遞減，

∴y≤﹣2，

∴a≥﹣2

（2）解：h（x）=f（x）+g（x）=lnx+ x2+mx，其定義域為（0，+∞），

求導(dǎo)得，h′（x）= ，

若h′（x）=0兩根分別為x1，x2，則有x1x2=1，x1+x2=﹣m，

∴x2= ，從而有m=﹣x1﹣ ，

∵m≤﹣ ，x1＜x2，

∴x1∈[ ，1]

則h（x1）﹣h（x2）=h（x1）﹣h（ ）=2lnx1+ （ ﹣ ）+（﹣x1﹣ ）（x1﹣ ），

令φ（x）=2lnx﹣ （x2﹣ ），x∈[ ，1]．

則[h（x1）﹣h（x2）]min=φ（x）min，

φ′（x）=﹣ ，

當(dāng)x∈（ ，1]時，φ′（x）＜0，

∴φ（x）在[ ，1]上單調(diào)遞減，

φ（x）min=φ（1）=0，

∴h（x1）﹣h（x2）的最小值為0

【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可．（2）求出函數(shù)h（x）的表達(dá)式，求出函數(shù)h（x）的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值，最值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行求解．
【考點精析】掌握函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)是解答本題的根本，需要知道求函數(shù)的極值的方法是:（1）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極大值（2）如果在附近的左側(cè),右側(cè),那么是極小值．