Question

如圖，在五面體中，四邊形是正方形，平面，∥，， ，。

（Ⅰ）求異面直線與所成角的余弦值；

（Ⅱ）證明⊥平面；

（Ⅲ）求二面角的正切值

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）

（Ⅱ）證明略

（Ⅲ）

【解析】（I）解：因?yàn)樗倪呅蜛DEF是正方形，所以FA//ED．

故為異面直線CE與AF所成的角．

因?yàn)镕A平面ABCD，所以FAC   D．故EDC D．

在Rt△CDE中，CD=1，ED=，CE==3,故cos==．

所以異面直線CE和AF所成角的余弦值為．

（Ⅱ）證明：過點(diǎn)B作BG//CD,交AD于點(diǎn)G，

則．由,可得BGAB,

從而CDAB,又CDFA,FAAB=A,所以CD平面ABF．

    （Ⅲ）解：由（Ⅱ）及已知，可得AG=，即G為AD的中點(diǎn)．取EF的中點(diǎn)N，連接GN，則GNEF,因?yàn)锽C//AD,所以BC//EF．過點(diǎn)N作NMEF，交BC于M，則為二面角B-EF-A的平面角。連接GM，可得AD平面GNM,故ADGM．從而BCGM．由已知，可得GM=．由NG//FA,FAGM,得NGGM．

    在Rt△NGM中，tan,所以二面角B-EF-A的正切值為